Комплексные числа корень 3 степени.

с и натуральное число n 2 .

Комплексное число Z называется корнем n – c , если Z n = c .

Найдем все значения корня n – ой степени из комплексного числа с . Пусть c =| c |·(cos Arg c + i · sin Arg с), а Z = | Z |·(с os Arg Z + i · sin Arg Z ) , где Z корень n - ой степени из комплексного числа с . Тогда должно быть = c = | c |·(cos Arg c + i · sin Arg с) . Отсюда следует, что
иn · Arg Z = Arg с
Arg Z =
(k =0,1,…) . Следовательно, Z =
(cos
+ i · sin
), (k =0,1,…) . Легко увидеть, что любое из значений
, (k =0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений
,(k = 0,1,…, n -1) на кратное 2π . Поэтому ,(k = 0,1,…, n -1) .

Пример.

Вычислим корень из (-1) .

, очевидно |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i · sin π )

, (k = 0, 1).

= i

Степень с произвольным рациональным показателем

Возьмем произвольное комплексное число с . Если n натуральное число, то с n = | c | n ·(с os nArg с + i · sin nArg с) (6). Эта формула верна и в случае n = 0 (с≠0 )
. Пусть n < 0 и n Z и с ≠ 0 , тогда

с n =
(cos nArg с +i·sin nArg с ) = (cos nArg с + i·sin nArg с ) . Таким образом, формула (6) справедлива для любых n .

Возьмем рациональное число , где q натуральное число, а р является целым.

Тогда под степенью c r будем понимать число
.

Мы получаем, что ,

(k = 0, 1, …, q -1). Этих значений q штук, если дробь не сократима.

Лекция №3 Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначается (с n ) или с 1 , с 2 , ..., с n . с n = а n + b n · i (n = 1,2, ...) комплексные числа.

с 1 , с 2 , … - члены последовательности; с n – общий член

Комплексное число с = a + b · i называется пределом последовательности комплексных чисел (c n ) , где с n = а n + b n · i (n = 1, 2, …) , где для любого

, что при всехn > N выполняется неравенство
. Последовательность, имеющая конечный предел называетсясходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с n ) (с n = а n + b n · i ) сходилась к числу с = a + b · i , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim a n = a , lim b n = b .

Доказательство.

Мы будем доказывать теорему исходя из следующего очевидного двойного неравенства

, где Z = x + y · i (2)

Необходимость. Пусть lim (с n ) = с . Покажем, что верны равенства lim a n = a и lim b n = b (3).

Очевидно (4)

Так как
, когдаn → ∞ , то из левой части неравенства (4) следует, что
и
, когдаn → ∞ . поэтому выполняются равенства (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (3). Из равенства (3) следует, что
и
, когдаn → ∞ , поэтому в силу правой части неравенства (4) будет
, когдаn →∞ , значит lim (с n )=с . Достаточность доказана.

Итак, вопрос о сходимости последовательности комплексных чисел эквивалентен сходимости двух вещественных числовых последовательностей, поэтому на последовательности комплексных чисел распространяются все основные свойства пределов вещественных числовых последовательностей.

Например, для последовательностей комплексных чисел справедлив критерий Коши: для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с n ) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого

, что при любом n , m > N выполняется неравенство
.

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (с n ) и (z n ) сходятся соответственно к с и z , тогда справедливо равенства lim (с n z n ) = c z , lim (с n · z n ) = c · z . Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство
.

числами в тригонометрической форме.

Формула Муавра

Пусть z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) и z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Тригонометрическую форму записи комплексного числа удобно использовать для выполнения действий умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня степени n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Следствием правила умножения комплексного числа является правило возведения комплексного числа в степень.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Это соотношение называется формулой Муавра.

Пример 8.1 Найти произведение и частное чисел:

и

Решение

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Пример 8.2 Записать в тригонометрической форме число

∙
–i) 7 .

Решение

Обозначим
и z 2 =
– i .

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctg;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Извлечение корня из комплексного числа

Определение. Корнем n -й степени из комплексного числа z (обо­значают
) называется комплексное число w такое, что w n = z. Если z = 0, то
= 0.

Пусть z  0, z = r(cos + isin). Обозначим w = (cos + sin), тогда уравнение w n = z запишем в cледующем виде

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Отсюда  n = r,

 =

Таким образом, w k =
·
.

Среди этих значений ровно n различных.

Поэтому k = 0, 1, 2, …, n – 1.

На комплексной плоскос-ти эти точки являются вершинами правильного n-угольника, вписан-ного в окружность радиусом
с центром в точке О (рисунок 12).

Рисунок 12

Пример 9.1 Найти все значения
.

Решение.

Представим это число в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность радиусом
с центром в начале координат(рисунок 13).

Рисунок 13 Рисунок 14

Пример 9.2 Найти все значения
.

Решение.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в точке О (0; 0) – рисунок 14.

§ 10 Показательная форма комплексного числа.

Формула Эйлера

Обозначим
= cos  + isin  и
= cos  - isin  . Эти соотношения называются формулами Эйлера .

Функция
обладает обычными свойствами показательной функции:

Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r(cos + isin).

Используя формулу Эйлера, можно записать:

z = r ·
.

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Используя ее, получаем правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Если z 1 = r 1 ·
и z 2 = r 2 ·
?то

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, где k = 0, 1, … , n – 1.

Пример 10.1 Записать в алгебраической форме число

z =
.

Решение.

Пример 10.2 Решить уравнение z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Решение.

При любых комплексных коэффициентах это уравнение имеет два корня z 1 и z 1 (возможно, совпадающих). Эти корни могут быть найдены по той же формуле, что и в вещественном случае. Так как
принимает два значения, отличающихся только знаком, то эта формула имеет вид:

Поскольку –9 = 9 · е  i , то значениями
будут числа:

Тогда
и
.

Пример 10.3 Решить уравнения z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.

Решение.

Искомыми корнями уравнения будут значения
.

Для z = –1 имеем r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Упражнения

9 Представить в показательной форме числа:

б) + i;	г) .

10 Записать в показательной и алгебраической формах числа:

а)	в)
б)	г) 7(cos0 + isin0).

11 Записать в алгебраической и геометрической формах числа:

а)

б)

в)

г)

12 Даны числа

Представив их в показательной форме, найти
.

13 Используя показательную форму комплексного числа, выполнить действия:

а)
б)

в)
г)

д)
	.