>> Урок 32. Формула деления с остатком
1. Какие остатки могут получиться при делении на 3, на 5, на 12, на 99, на х?
2. Найди по рисунку делимое, делитель, частное и остаток. Запиши соответствующее числовое равенство .
3. Проверь равенства и назови делимое а, делитель b, частное c и остаток r. Сделай чертёж.
Что общего в этих равенствах? Какие значения может принимать в них остаток?
4 . Запиши формулу зависимости между делимым а, делителем b, частным c и остатком r при делении с остатком. Сравни в этой формуле значения остатка r и делителя b.
По горизонтали:
2. Знак математического действия. 4. Запись из одной или нескольких цифр. 5. Часть прямой, соединяющая две точки. 6, Геометрическая фигура, не имеющая размеров. 8. Математическое действие. 9. Однозначное число.
По вертикали:
1. Часть прямой. 2. Запись алгоритма действий, понятная исполнителю. 3. Математическое действие. 6. Число разрядов в классе. 7. Упражнения, выполняемые с помощью рассуждений и вычислений.
15*. Найди все способы размена 10 руб. монетами в 1 руб., 2 руб. и 5 руб.
16*. Половина трети числа равна 5. Какое это число?
Петерсон Людмила Георгиевна. Математика. 3 класс. Часть 2. - М.: Издательство "Ювента", 2005, - 64 с.: ил.
Помощь школьнику онлайн , Математика для 3 класса скачать , календарно-тематическое планирование
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиВ этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.
Навигация по странице.
Общее представление о делении целых чисел с остатком
Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .
Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.
По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).
Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).
Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .
Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.
Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.
С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.
Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .
Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .
Теорема.
Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .
Доказательство.
Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .
Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .
Теперь будем считать, что b
– целое положительное число. Выберем целое число q
таким образом, чтобы произведение b·q
не превышало числа a
, а произведение b·(q+1)
было уже больше, чем a
. То есть, возьмем q
таким, чтобы выполнялись неравенства b·q Осталось доказать возможность представления a=b·q+r
для отрицательных b
.
Так как модуль числа b
в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1
– некоторое целое число, а r
– целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1
, получаем нужное нам представление a=b·q+r
для отрицательных b
.
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления a=b·q+r
, q
и r
– целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1
, где q 1
и r 1
– некоторые целые числа, причем q 1 ≠q
и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1
, которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q)
. Тогда должно быть справедливо и равенство вида Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q
и q 1
– целые и q≠q 1
, то , откуда заключаем, что Равенство a=b·c+d
позволяет находить неизвестное делимое a
, если известны делитель b
, неполное частное c
и остаток d
. Рассмотрим пример. Пример.
Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21
получилось неполное частное 5
и остаток 12
?
Решение.
Нам требуется вычислить делимое a
, когда известен делитель b=−21
, неполное частное c=5
и остаток d=12
. Обратившись к равенству a=b·c+d
, получаем a=(−21)·5+12
. Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21
и 5
по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93
.
Ответ:
−93
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c
, c=(a−d):b
и d=a−b·c
. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a
на целое число b
, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c
. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка. Пример.
Найдите остаток от деления целого числа −19
на целое число 3
, если известно, что неполное частное равно −7
.
Решение.
Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c
. Из условия имеем все необходимые данные a=−19
, b=3
, c=−7
. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=
−19−(−21)=−19+21=2
(разность −19−(−21)
мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).
Ответ:
Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел. С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел. Пример.
Выполните деление с остатком числа 14 671
на 54
.
Решение.
Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком: Неполное частное получилось равным 271
, а остаток равен 37
.
Ответ:
14 671:54=271 (ост. 37)
.
Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число. Неполное частное от деления целого положительного числа a
на целое отрицательное число b
представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a
на модуль числа b
, а остаток от деления a
на b
равен остатку от деления на . Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом . Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное: Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное. Пример.
Выполните деление с остатком целого положительного числа 17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделив Число, противоположное числу 3
, - это −3
. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17
на −5
равно −3
, а остаток равен 2
.
Ответ:
17
:(−5)=−3 (ост. 2)
. Пример.
Разделите 45
на −15
.
Решение.
Модули делимого и делителя равны 45
и 15
соответственно. Число 45
делится на 15
без остатка, частное при этом равно 3
. Следовательно, целое положительное число 45
делится на целое отрицательное число −15
без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3
, то есть, −3
. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .
Ответ:
45:(−15)=−3
.
Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое положительное число b
нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом. Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a
на целое положительное b
: Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
.
Решение.
Модуль делимого −17
равен 17
, а модуль делителя 5
равен 5
.
Разделив 17
на 5
, получаем неполное частное 3
и остаток 2
.
Число, противоположное 3
, есть −3
. Вычитаем из −3
единицу: −3−1=−4
. Итак, искомое неполное частное равно −4
.
Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17
, b=5
, c=−4
, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
равно −4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):5=−4 (ост. 3)
.
Пример.
Разделите целое отрицательное число −1 404
на целое положительное число 26
.
Решение.
Модуль делимого равен 1 404
, модуль делителя равен 26
.
Разделим 1 404
на 26
столбиком: Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54
, то есть, −54
.
Ответ:
(−1 404):26=−54
.
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое отрицательное число b
, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом. Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел: Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.
Модуль делимого равен 17
, модуль делителя равен 5
.
Деление 17
на 5
дает неполное частное 3
и остаток 2
.
К неполному частному 3
прибавляем единицу: 3+1=4
. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17
на −5
равно 4
.
Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17
, b=−5
, c=4
, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
равно 4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):(−5)=4 (ост. 3)
.
После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d
неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d
. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка. Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком. Пример.
При делении числа −521
на −12
было получено неполное частное 44
и остаток 7
, выполните проверку результата.
Решение.
−2
при b=−3
, c=7
, d=1
. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20
. Таким образом, равенство a=b·c+d
– неверное (в нашем примере a=−19
).
Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.
Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу. Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье! Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек. Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно. Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное». Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12. Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше. Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2). Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1). Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется: Найти сумму цифр делимого. Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно). Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка. Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка. Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет. Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки. Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей. Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель. В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки: Задача 1
. Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой? Задача 2
. На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок? Задача 3
. Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково? Задача 4
. Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук? Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже: Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача. Рассмотрим пример, 512:8. 1 шаг
. Запишем делимое и делитель следующим образом: Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым. 2 шаг
. Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5: 3 шаг
. Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого: Теперь 51 больше 8. Это неполное частное. 4 шаг
. Ставим точку под делителем. 5 шаг
. После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку: 6 шаг
. Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем: 7 шаг
. Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»: 8 шаг
. Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3. * 9 шаг
*. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3: 10 шаг
Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4. Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица. Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа. Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3)
(4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5): Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7. Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 - класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни. Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа. Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания. Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите! Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме. Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше. Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика. Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач. Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту. Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать. После прохождения курса ребенок сможет: Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их. Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон. Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком
. Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту: За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту: Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное: Под делимым будут записываться промежуточные вычисления: Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом: Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению: Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого: это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него: В нашем случае число 78 будет неполным делимым
, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого. Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра - 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр. Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка: Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6: Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше. К получившемуся остатку - 6, сносим следующую цифру делимого - 0. В результате, получилось неполное делимое - 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль: Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное - оно записано под делителем: Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9. Определяем неполное делимое - это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают: Сносим следующую цифру делимого - 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают: Сносим следующую цифру делимого - 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого: Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль: Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело: Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6. Определяем неполное делимое - это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно: Сносим следующую цифру делимого - 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0: Сносим следующую цифру делимого - 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток - 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело: Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело: Пусть нам требуется разделить 1340 на 23. Определяем неполное делимое - это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19: Сносим следующую цифру делимого - 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6: Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6: 1340: 23 = 58 (остаток 6) Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток - 3: 3: 10 = 0 (остаток 3) Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить. Инструкция Сначала проверьте навыки ребенка в умножении. Если ребенок нетвердо знает таблицу умножения, то с делением у него тоже могут быть проблемы. Тогда при объяснении деления можно разрешить подглядывать в шпаргалку, но таблицу все-таки придется выучить. Запишите делимое и делитель через разделительную вертикальную черту. Под делителем вы будете записывать ответ - частное, отделив его горизонтальной чертой. Возьмите первую цифру числа 372 и спросите у ребенка, сколько раз число шесть «помещается» в тройке. Правильно, нисколько. Тогда возьмите уже две цифры - 37. Для наглядности можно выделить их уголком. Снова повторите вопрос – сколько раз число шесть содержится в 37. Чтобы сосчитать быстро, пригодится . Подберите ответ вместе: 6*4 = 24 – совсем непохоже; 6*5 = 30 – близко к 37. Но 37-30 = 7 – шесть «поместится» еще раз. Наконец, 6*6 = 36, 37-36 = 1 – подходит. Первая цифра частного найдена – это 6. Напишите ее под делителем. Запишите 36 под цифрой 37, подведите чертой. Для наглядности в записи можно использовать знак . Под чертой поставьте остаток – 1. Теперь «спустите» следующую цифру числа, двойку, к единице – получилось 12. Объясните ребенку, что цифры всегда «спускаются» по одной. Опять спросите, сколько «шестерок» содержит 12. Ответ – 2, на этот раз без остатка. Напишите вторую цифру частного рядом с первой. Окончательный результат – 62. Также подробно рассмотрите случай деления . Например, 167/6 = 27, остаток 5. Скорее всего, ваш отпрыск про простые дроби пока ничего не слышал. Но если он будет задавать вопросы, что делать с остатком дальше, можно объяснить на примере яблок. 167 яблок разделили между шестью людьми. Каждому досталось 27 штук, и пять яблок остались неподеленными. Можно поделить и их, разрезав каждое на шесть долек и раздав поровну. Каждому человеку досталась одна долька от каждого яблока – 1/6. А так как яблок было пять штук, то и долек у каждого оказалось по пять – 5/6. То есть результат можно записать так: 27 5/6.
, а в силу свойств модуля числа - и равенство 
.
. Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a
, кроме a=b·q+r
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Проверка результата деления целых чисел с остатком
Деление чисел
Деление с остатком
Деление на 3 и 9
Умножение и деление
Деление 3 класс
Деление 4 класс
Деление в столбик
Деление трехзначных
Деление дробей
Деление числа на классы
Деление натуральных чисел
Деление презентация
Примеры на деление
Легкий уровень
Средний уровень
Сложный уровень
Игры на развитие устного счета
Игра "Угадай операцию"
Игра "Упрощение"
Игра "Быстрое сложение"
Игра "Визуальная геометрия"
Игра "Копилка"
Игра "Быстрое сложение перезагрузка"
Развитие феноменального устного счета
Скорочтение за 30 дней
Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет
Деньги и мышление миллионера
Как делить столбиком
Деление столбиком с остатком
Калькулятор деления столбиком
